Question

14．已知函数f（x）=1og₂（x+1）-1og₂（x-1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）写出f（x）的单调区间；
（3）若对[3，5]上的任意x都有f（x）＜2^x+m成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由x+1＞0，且x-1＞0得：x＞1，进而得到f（x）的定义域；
（2）分析内外函数的单调性，结合复合函数“同增异减”的原则，可得f（x）的单调区间；
（3）若对[3，5]上的任意x都有f（x）＜2^x+m成立，则m＞f（x）-2^x在[3，5]上恒成立，令g（x）=f（x）-2^x，利用函数单调性的性质，可得g（x）在[3，5]上为减函数，进而得到m的取值范围．

解答 解：（1）由x+1＞0，且x-1＞0得：x＞1，
故f（x）的定义域为（1，+∞）；
（2）∵函数y=$\frac{2}{x-1}+1$在（1，+∞）为减函数，
∴函数f（x）=1og₂（x+1）-1og₂（x-1）=${log}_{2}\frac{x+1}{x-1}$=${log}_{2}（\frac{2}{x-1}+1）$在（1，+∞）为减函数，
故函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞），无单调递增区间；
（3）若对[3，5]上的任意x都有f（x）＜2^x+m成立，
则m＞f（x）-2^x在[3，5]上恒成立，
令g（x）=f（x）-2^x，
∵f（x）在[3，5]上为减函数，y=2^x在[3，5]上为增函数，
故g（x）在[3，5]上为减函数，
故当x=3时，g（x）取最大值1og₂4-1og₂2-2³=-7，
故m＞-7

点评 本题考查的知识点函数的定义域，函数的单调区间，恒成立问题，复合函数的单调性，单调性的性质，是函数图象和性质的综合应用．