Question

在等差数列中，，．令，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式和；
（2）是否存在正整数，（）,使得，，成等比数列？若存在，求出所有
的，的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2），.

试题分析：（1）由题意，，，利用等差数列求出，，则，所以，利用裂项相消法求出；（2）先表示出，，，对于存在性问题，先假设存在，假设存在正整数、 ，使得、、成等比数列，表示出， 即 ，化简得 ，对按，讨论，存在满足条件的正整数、，此时，.
试题解析：（1）设数列的公差为，由得
解得，
∴                                 3分
∵
∴


                                          6分
（2）由（1）知，，，
假设存在正整数、 ，使得、、成等比数列，
则 ， 即             2分
经化简，得
∴
∴ （*）                             3分
当时，（*）式可化为 ，所以              5分
当时，
又∵，∴（*）式可化为 ，所以此时无正整数解.
7分
综上可知，存在满足条件的正整数、，此时，.