Question

已知数列{ }、{ }满足：.
（1）求          
（2）证明：数列{}为等差数列，并求数列和{ }的通项公式；
（3）设，求实数为何值时 恒成立.

Answer 1

（1）；（2）证明见解析，，；（3）≤1.

试题分析：（1）递推依次求得；（2）可得，化简可证为等差数列，求出通项公式，进而求出和{ }的通项公式；（3）裂项法可求，则代入 ，将原不等式恒成立转化为，利用一元二次函数知识可得≤1.
解：（1） ∵，∴；        4分
（2）∵，
∴，，
∴ ， ∴ 数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列，   6分
∴， ，  ∴ ；         8分
（3）  ， ∴，
∴，        10分
由条件可知恒成立即可满足条件，
设，
当＝1时，恒成立,
当 >1时，由二次函数的性质知不可能成立,
当<l时，对称轴 ,              13分
f(n)在为单调递减函数,    ,
∴    ∴<1时恒成立,             
综上知：≤1时，恒成立.   14分