Question

设函数f（x）=2^x，对任意的 x₁、x₂（x₁≠x₂），考虑如下结论：
①f （x₁•x₂）=f （x₁）+f （x₂）；    
②f （x₁+x₂）=f （x₁）•f （x₂）；    
③f （-x₁）=

1

f(x1)

；
④

f(x1)-1

x1

＜0 （x₁≠0）；     
⑤

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)．
则上述结论中正确的是

 

（只填入正确结论对应的序号）

Answer 1

考点：有理数指数幂的化简求值

专题：函数的性质及应用

分析：①由于f （x₁•x₂）=2x1×2x2=2x1+x2，f （x₁）+f （x₂）=2x1+2x2，即可判断出；
②f （x₁+x₂）=2x1+x2=f （x₁）•f （x₂）；
③f （-x₁）=2-x1=

1

2x1

=

1

f(x1)

；
④g（x₁）=

f(x1)-1

x1

=

2x1-1

x1

，对x₁分类讨论：当x₁＞0时，g（x₁）＞0；当x₁＜0时，g（x₁）＜0．
⑤利用基本不等式的性质

f(x1)+f(x2)

2

=

2x1+2x2

2

＞

2 2x1•2x2

2

=

2x1+x2

=2

x1+x2

2

=f(

x1+x2

2

)．

解答： 解：①f （x₁•x₂）=2x1×2x2=2x1+x2，f （x₁）+f （x₂）=2x1+2x2，∴f （x₁•x₂）≠f （x₁）+f （x₂），因此不正确；
②f （x₁+x₂）=2x1+x2=f （x₁）•f （x₂），正确；
③f （-x₁）=2-x1=

1

2x1

=

1

f(x1)

，正确；
④g（x₁）=

f(x1)-1

x1

=

2x1-1

x1

，当x₁＞0时，g（x₁）＞0；当x₁＜0时，g（x₁）＜0；因此不正确．
⑤

f(x1)+f(x2)

2

=

2x1+2x2

2

＞

2 2x1•2x2

2

=

2x1+x2

=2

x1+x2

2

=f(

x1+x2

2

)，因此正确．
综上可得：只有②③⑤正确．
故答案为：②③⑤．

点评：本题考查了指数幂的运算性质、分类讨论方法、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．