Question

已知函数f（x）=|2x-a|-x²是定义在R上的偶函数，若方程f（x）=m恰有两个实根，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）为偶函数可求a，进而可求函数f（x），然后作出函数的 图象，结合图象判断y=m与y=f（x）有2个交点时的m的范围即可

解答： 解：∵函数f（x）=|2x-a|-x²是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x）对应任意的x都成立
∴|-2x-a|-x²=|2x-a|-x²
整理可得|2x-a|=|2x+a|对于任意的x都成立
∴a=0，f（x）=2|x|-x²=

-x2+2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

作出函数f（x）的图象，如图所示，根据图象可知当m=1或m＜0时，方程f（x）=m恰有两个实根
故答案为：m=1或m＜0．

点评：本题主要考查了偶函数的定义在函数解析式求解中的应用，解题的关键是数形思想的应用