Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P为线段A₁B₁上的动点，
（Ⅰ）判断异面直线PN和AM所成的角的大小是否变化，并证明你的结论；
（Ⅱ）当直线PN和平面ABC所成角最大时，试确定点P的位置．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：综合题

分析：（Ⅰ）取AC的中点O，连接A₁O，NO，则A₁O是PN在平面A₁C中的射影，证明AM⊥A₁O，即可得出结论；
（Ⅱ）设PD⊥AB，则PD⊥平面ABC，连接DN，则∠PND为直线PN和平面ABC所成角，即可得出结论．

解答： 解：（I）不变；
取AC的中点O，连接A₁O，NO，则A₁O是PN在平面A₁C中的射影，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁，M是CC₁的中点，
∴AM⊥A₁O，∴AM⊥PN，
∴异面直线PN和AM所成的角为90°；
（II）设PD⊥AB，则PD⊥平面ABC，连接DN，则∠PND为直线PN和平面ABC所成角，
∴tan∠PND=

PD

DN

，
∴DN最小时，直线PN和平面ABC所成角最大，此时P为A₁B₁的中点．

点评：本题考查异面直线PN和AM所成的角，考查直线PN和平面ABC所成角最大，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．