Question

13．若存在正数a和实数x₀，使得f（x₀+a）=f（x₀）+a成立，则称区间[x₀，x₀+a]为函数f（x）的“公平增长区间”．则下列四个函数：
①f（x）=2x-1
②f（x）=||x|-1|，
③$f（x）=\sqrt{{x^2}-1}$，
④f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$-x，x∈[1，+∞）
其中有“公平增长区间”的为②④（填出所有正确结论的番号）．

Answer 1

分析 若存在正数a和实数x₀，使得f（x₀+a）=f（x₀）+a成立，则函数图象上存在两点连续的斜率为1，进而得到答案．

解答 解：若存在正数a和实数x₀，使得f（x₀+a）=f（x₀）+a成立，
则函数图象上存在两点连续的斜率为1，
当f（x）=2x-1时，任两点连续的斜率均为2，故不存在“公平增长区间”；
当f（x）=||x|-1|时，当x∈[-1，0]∪[1，+∞）时，斜率为1，故存在“公平增长区间”；
当$f（x）=\sqrt{{x^2}-1}$时，$f′（x）=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$∈（-∞，-1）∪（1，+∞），故不存在“公平增长区间”；
当f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$-x，x∈[1，+∞）时，$f′（x）=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$-1∈（0，+∞），故存在“公平增长区间”；
故答案为：②④

点评 本题考查的知识点是新定义函数f（x）的“公平增长区间”，正确理解新定义的含义，是解答的关键．