题目内容

在平面直角坐标系x0y中，抛物线y2=2x的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为    ．
【答案】分析：设M 到准线x=- 的距离等于d，由抛物线的定义可得 =，化简为，令m-=t，则m=t+，=，利用基本不等式求得最大值．
解答：解：焦点F（，0），设M（m，n），则n2=2m，m＞0，设M 到准线x=- 的距离等于d，
则 =====
==．令 m-=t，t＞-，则 m=t+，
==≤=（当且仅当 t= 时，等号成立）．
故的最大值为 ，
故答案为 ．
点评：本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，把化为，是解题的关键和难点，属于中档题．
练习册系列答案
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在平面直角坐标系xOy中，设直线y=
3
x+2m和圆x2+y2=n2相切，其中m，n∈N，0＜|m-n|≤1，若函数f（x）=mx+1-n的零点x0∈（k，k+1）k∈Z，则k=
 
．
（2011•盐城二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2+
y2
4
=1在第一象限的部分为曲线C，曲线C在其上动点P（x0，y0）处的切线l与x轴和y轴的交点分别为A、B，且向量
OM
=
OA
+
OB
．
（1）求切线l的方程（用x0表示）；
（2）求动点M的轨迹方程．
如图，在平面直角坐标系xOy中．椭圆C：
x2
2
+y2=1的右焦点为F，右准线为l．
（1）求到点F和直线l的距离相等的点G的轨迹方程．
（2）过点F作直线交椭圆C于点A，B，又直线OA交l于点T，若
OT
=2
OA
，求线段AB的长；
（3）已知点M的坐标为（x0，y0），x0≠0，直线OM交直线
x0x
2
+y0y=1于点N，且和椭圆C的一个交点为点P，是否存在实数λ，使得
OP
2=λ
OM
•
ON
？，若存在，求出实数λ；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系xoy（O为坐标原点）中，椭圆E1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点在圆E2：x2+y2=a+b上，且椭圆的离心率是
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆E1和圆E2的方程；
（Ⅱ）是否存在经过圆E2上的一点P（x0，y0）的直线l，使l与圆E2相切，与椭圆E1有两个不同的交点A、B，且
OA
•
OB
=3？若存在，求出点P的横坐标x0的值；若不存在，请说明理由．
（2013•南京二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点A(
a
2
，
a
2
)，B(
3
，1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（x0，y0）在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为x0x+3y0y-6=0．
①求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点；
②若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．

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