Question

在平面直角坐标系xoy（O为坐标原点）中，椭圆E₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点在圆E₂：x²+y²=a+b上，且椭圆的离心率是

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆E₁和圆E₂的方程；
（Ⅱ）是否存在经过圆E₂上的一点P（x₀，y₀）的直线l，使l与圆E₂相切，与椭圆E₁有两个不同的交点A、B，且

OA

•

OB

=3？若存在，求出点P的横坐标x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆的两个焦点在圆E₂：x²+y²=a+b上，且椭圆的离心率是

3

2

，建立方程，即可求得椭圆E₁和圆E₂的方程；
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，由l于为x²+y²=3相切于点P（x₀，y₀），可得直线l的方程为x₀x+y₀y=3，分类讨论，利用

OA

•

OB

=3，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意，a²-b²=a+b，

a2-b2

a

=

3

2

∴a=2，b=1
∴椭圆E₁的方程为

x2

4

+y2=1，圆E₂的方程为x²+y²=3；
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，由l于为x²+y²=3相切于点P（x₀，y₀），可得直线l的方程为x₀x+y₀y=3
当y₀=0时，

OA

•

OB

=

11

4

≠3，不合题意；
当y₀≠0时，与椭圆方程联立，结合x₀²+y₀²=3，可得3（1+

x

2 0

）x²-24x₀x+4

x

2 0

+24=0
∵(-24x0)2-12（1+

x

2 0

）（4

x

2 0

+24）＞0
∴2＜

x

2 0

＜3
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8x0

1 +x 2 0

，x₁x₂=

24+4x02

3(1 +x 2 0 )

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

11

1 +x 2 0

∵

OA

•

OB

=3，∴

11

1 +x 2 0

=3
∴

x

2 0

=

8

3

∵2＜

x

2 0

＜3，
∴存在直线l，此时点P的横坐标为x₀=±

2 6

3

．

点评：本题考查椭圆与圆的标准方程，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．