Question

如图，在平面直角坐标系xOy中．椭圆C：

x2

2

+y2=1的右焦点为F，右准线为l．
（1）求到点F和直线l的距离相等的点G的轨迹方程．
（2）过点F作直线交椭圆C于点A，B，又直线OA交l于点T，若

OT

=2

OA

，求线段AB的长；
（3）已知点M的坐标为（x₀，y₀），x₀≠0，直线OM交直线

x0x

2

+y0y=1于点N，且和椭圆C的一个交点为点P，是否存在实数λ，使得

OP

2=λ

OM

•

ON

？，若存在，求出实数λ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆方程确定点F的坐标和直线l的方程，利用到点F和直线l的距离相等，建立等式，化简可得点G的轨迹方程；
（2）由若

OT

=2

OA

，可得A的坐标，从而可求线段AB的长；
（3）假设存在实数λ满足题意，确定直线OM、ON的方程，表示出N，P的坐标，利用

OP

2=λ

OM

•

ON

，即可求得结论．

解答：解：（1）由椭圆方程为

x2

2

+y2=1
可得a²=2，b²=1，c=1，F（1，0），l：x=2．
设G（x，y），则由题意可知

(x-1)2+y2

=|x-2|，
化简得点G的轨迹方程为y²=-2x+3．…（4分）
（2）由题意可知x_A=x_F=c=1，
故将x_A=1代入

x2

2

+y2=1，
可得|yA|=

2

2

，从而AB=

2

．   …（8分）
（3）假设存在实数λ满足题意．
由已知得OM：y=

y0

x0

x①

x0x

2

+y0y=1②
椭圆C：

x2

2

+y2=1③
由①②解得xN=

2x0

x02+2y02

，yN=

2y0

x02+2y02

．
由①③解得xP2=

2x02

x02+2y02

，yP2=

2y02

x02+2y02

．              …（12分）
∴

OP

2=xP2+yP2=

2x02

x02+2y02

+

2y02

x02+2y02

=

2(x02+y02)

x02+2y02

，

OM

•

ON

=x0xN+y0yN=

2x02

x02+2y02

+

2y02

x02+2y02

=

2(x02+y02)

x02+2y02

．
∵

OP

2=λ

OM

•

ON

∴可得λ=1满足题意．                                  …（16分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查轨迹方程的求解，考查向量知识的运用，属于中档题．