Question

在平面直角坐标系xOy中，设直线y=

3

x+2m和圆x²+y²=n²相切，其中m，n∈N，0＜|m-n|≤1，若函数f（x）=m^x+1-n的零点x₀∈（k，k+1）k∈Z，则k=

 

．

Answer 1

分析：根据直线和圆相切知圆心到直线的距离等于半径，得到关于m和n的一个关系，又有m，n∈N，0＜|m-n|≤1，得到m和n的值，代入所给的函数式，那么本题就变化为求一个函数的零点的范围，两边取对数，写出x的表示式，根据对数的图象得到范围．

解答：解：∵直线y=

3

x+2m和圆x²+y²=n²相切，
∴圆心到直线的距离是半径n，
∴

2m

2

=n
∴2^m=2n，
∵m，n∈N，0＜|m-n|≤1，
∴m=3，n=4，
∴函数f（x）=m^x+1-n=3^x+1-4，
要求函数的零点所在的区间，
令f（x）=0，
即3^x+1-4=0，
∴3^x+1=4，
∴x+1=log₃⁴，
∴x=log₃⁴-1
∵log₃⁴∈（1，2）
∴x∈（0，1）
∴k=0
故答案为：0

点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查函数的零点，解决本题还要有归纳整理的能力，本题是一个综合题，运算量不大但是解题时技巧性比较强，是一个好题．