Question

10．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$的起点相同且满足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2，|{\overrightarrow b}|=\sqrt{6}，（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）=0$，则$\overrightarrow{|c|}$的最大值为3．

Answer 1

分析 可作作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，根据条件可以得出OA=2，OB=$\sqrt{6}$，AC⊥BC，从而说明点C在以AB为直径的圆上，从而当OC过圆心时，OC最长，即|$\overrightarrow{c}$|最大，设圆心为D，从而根据OC=OD+DC，由中线长定理，便可得出最大值．

解答 解：如图，作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{CB}$，

∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，
∴$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{CB}$，
∴AC⊥BC，
∴点C在以AB为直径的圆上，设圆心为D，D为AB中点；
由AB=2；
∴圆半径为1；
∴当OC过D点时，OC最大，即|$\overrightarrow{c}$|最大，
由OD为中点，由中线长定理，可得
（2OD）²+AB²=2（OA²+OB²），
即有4OD²+2²=2[2²+（$\sqrt{6}$）²]，
解得OD=2，
则OC的最大值为2+1=3．
故答案为：3．

点评 本题考查数量积的计算公式，向量夹角的概念，用有线向量表示向量，以及向量垂直的充要条件，直径所对的圆周角为直角，数形结合解题的方法．