Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若存在x₀∈[

1

e

，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．
（2）由已知得a≤2lnx+x+

3

x

，x∈[

1

e

，e]，设h（x）=2lnx+x+

3

x

，x∈[

1

e

，e]，则h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，x∈[

1

e

，e]，由此利用导数性质能求出实数a的取值

解答： 解：（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
当x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（

1

e

，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
①0＜t＜t+2＜

1

e

，没有最小值；
②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

；
③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt．
∴f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

．
（2）∵不等式2f（x₀）≥g（x₀）成立，即2x₀lnx₀≥-x02+ax0-3，
∴a≤2lnx+x+

3

x

，x∈[

1

e

，e]，
设h（x）=2lnx+x+

3

x

，x∈[

1

e

，e]，
则h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，x∈[

1

e

，e]，
①x∈[

1

e

，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
②x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=4，对一切x₀∈[

1

e

，e]使不等式2f（x₀）≥g（x₀）成立，
∴a≤h（x）_min=4．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．