Question

4．已知定义在R上的函数$f（x）={（\frac{1}{2}）^{|x-m|}}-1$（m为实数）为偶函数，记a=f（log_0.53），b=f（log₂5），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． a＜b＜c
• B． b＜a＜c
• C． c＜a＜b
• D． a＜c＜b

Answer 1

分析 根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=$\frac{1}{2}$^|x|-1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递减，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log_0.53|），b=f（log₂5），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．

解答 解：∵f（x）为偶函数；
∴f（-x）=f（x）；
∴$\frac{1}{2}$^|-x-m|-1=$\frac{1}{2}$^|x-m|-1；
∴|-x-m|=|x-m|；
（-x-m）²=（x-m）²；
∴mx=0；
∴m=0；
∴f（x）=$\frac{1}{2}$^|x|-1；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且a=f（|log_0.53|）=f（log₂3），b=f（log₂5），c=f（0）；
∵0＜log₂3＜log₂5；
∴c＞a＞b．
故选：B．

点评 本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．