已知椭圆$C:\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$的弦AB过点.则弦AB中点的轨迹方程是x2+x+3y2=0．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知椭圆$C：\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$的弦AB过点（-1，0），则弦AB中点的轨迹方程是x²+x+3y²=0．

分析设出直线与椭圆的两个交点A，B的坐标及AB的中点的坐标，利用点差法结合直线斜率得到AB中点所满足的函数关系式．

解答解：设直线l交椭圆与A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，AB的中点为（x₀，y₀），
则代入，作差得：$\frac{{2x}_{0}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{3}$+2y₀（y₁-y₂）=0，①
∵k_AB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$②，
①②整理得：x₀²+x₀+3y₀²=0，即x²+x+3y²=0．
∴弦的中点的轨迹方程x²+x+3y²=0．
故答案为：x²+x+3y²=0．

点评本题考查了轨迹方程的求法，训练了点差法，是中档题．

练习册系列答案

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	A．	$\frac{1}{2（k+1）}$		B．	$\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k+1}$
	C．	$\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}+\frac{1}{k+1}$		D．	$\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}$

2．

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