在直角坐标系xOy中.曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$.在以坐标原点为极点.x轴正半轴为极轴的极坐标系中.直线l的极坐标方程为ρsin=2$\sqrt{2}$．(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程,(2)动点A在曲线C上.动点B在直线l上.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程；
（2）动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P（-1，1），求|PB|+|AB|的最小值．

分析（1）利用极坐标方程、参数方程与普通方程的关系，化简即可；
（2）利用中点坐标公式及两直线垂直可求出P关于直线的对称点为Q（3，5），通过等量代换可知当且仅当Q，B，A，C四点共线时，且A在B，C之间时|PB|+|AB|的最小值为$\sqrt{26}$-1．

解答解：（1）由曲线C的参数方程可得（x-2）²+y²=1，
∵直线l是极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
∴ρ（sinθ+cosθ）=4，即x+y=4；
（2）设P关于直线的对称点为Q（a，b），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}{2}+\frac{b+1}{2}=4}\\{\frac{b-1}{a+1}•（-1）=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=5}\end{array}\right.$，即Q（3，5），
由（1）知曲线C为圆，圆心C（2，0），半径r=1，
∴|PB|+|AB|=|QB|+|AB|≥|QC|-1=$\sqrt{26}$-1，
仅当Q，B，A，C四点共线时，且A在B，C之间时等号成立，
故|PB|+|AB|的最小值为$\sqrt{26}$-1．