Question

14．如图，BA与圆O相切，切点为A，割线BN与圆O分别交于点M，N，若BA=BC，连接CM并延长，交圆O于点D，割线CN与圆O的另一个交点为E．
（1）求证：△BCM～△BNC；
（2）若∠BCD=30°，且N，O，D三点共线，求$\frac{DE+CE}{DC}$．

Answer 1

分析 （1）利用切割线定理，结合BA=BC，证明：△BCM～△BNC；
（2）证明DE⊥BC，可得△DCE为直角三角形，∠DCE=60°，即可求$\frac{DE+CE}{DC}$．

解答 （1）证明：∵BA与圆O相切，切点为A，割线BN与圆O分别交于点M，N，
∴BA²=BM•BN．
∵BA=BC，
∴BC²=BM•BN．
∴$\frac{BC}{BM}$=$\frac{BN}{BC}$，
∴△BCM～△BNC；
（2）解：由（1）可得∠BCD=∠BNC，
∵∠BNC=∠CDE，
∴∠CDE=∠BCD=30°，
∵N，O，D三点共线，
∴DE⊥BC，
∴△DCE为直角三角形，
∴∠DCE=60°，
∴$\frac{DE+CE}{DC}$=$\frac{DCsin60°+DCsin30°}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．