Question

11．证明：函数f（x）=$\sqrt{2x+3}$在（0，3）上是增函数．

Answer 1

分析 利用单调性的定义，取值、作差，判断正负，即可证明函数f（x）=$\sqrt{2x+3}$在（0，3）上是增函数．

解答 证明：任取x₁、x₂∈（0，3），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{2x}_{1}+3}$-$\sqrt{{2x}_{2}+3}$
=$\frac{（\sqrt{{2x}_{1}+3}-\sqrt{{2x}_{2}+3}）（\sqrt{{2x}_{1}+3}+\sqrt{{2x}_{2}+3}）}{\sqrt{{2x}_{1}+3}+\sqrt{{2x}_{2}+3}}$
=$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{\sqrt{{2x}_{1}+3}+\sqrt{{2x}_{2}+3}}$，
∵0＜x₁＜x₂＜3，
∴2（x₁-x₂）＜0，$\sqrt{{2x}_{1}+3}$+$\sqrt{{2x}_{2}+3}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（0，3）上是增函数．

点评 本题考查了利用单调性定义证明函数在某一区间上是增函数的应用问题，是基础题目．