题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2-
a（a∈R），若存在x0，使f（x）在x=x0处取得极值，且f（x0）=0，则a的值为 ．
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考点：利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，解得x=0或-
．由于存在x0，使f（x）在x=x0处取得极值，可知x0=-
，由f（x0）=0，解出即可．
| 2a |
| 3 |
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| 3 |
解答：
解：f′（x）=3x2+2ax=3x(x+
)．
令f′（x）=0，解得x=0或-
．
∵存在x0，使f（x）在x=x0处取得极值，
∴-
≠0，即a≠0．
当a≠0时，可知：0，-
都是f（x）的极值点．
但是x0≠0，否则由f（0）=0得到a=0．
因此x0=-
，由f（x0）=0，
可得(-
)3+a×(-
)2-
a=0，
化为a2=9，
解得a=±3．
故答案为：±3．
| 2a |
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令f′（x）=0，解得x=0或-
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∵存在x0，使f（x）在x=x0处取得极值，
∴-
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当a≠0时，可知：0，-
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但是x0≠0，否则由f（0）=0得到a=0．
因此x0=-
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可得(-
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化为a2=9，
解得a=±3．
故答案为：±3．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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