Question

如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PC,∠APC=∠ACB=90°,∠BAC=30°，且平面PAC⊥平面ABC.

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC;

（2）求二面角P-AB-C的正弦值；

（3）若PA=2,求三棱锥P—ABC的体积.

Answer 1

（1）证明:∵平面PAC⊥平面ABC，

面PAC∩面ABC=AC，

又BC⊥AC，

∴BC⊥平面PAC.

又∵BC平面PBC，

∴平面PAC⊥平面PBC.

（2）解析:过点P作PD⊥AC于D，则PD⊥平面ABC，过点D作DE⊥AB于E，连结PE.

∵面PAC⊥面ABC，PD⊥面ABC，

由三垂线定理知PE⊥AB，

∴∠PED为二面角P-AB-C的平面角.

设PA=PC=a,

∵∠APC=90°，

∴PD=a,AC=a,且AD=CD=a.

又∵∠CAB=30°,

∴ED=a.

∴tan∠PDE=PD∶ED=a∶a=2.

∴sin∠PDE=.

（3）解析:若PA=2,由（2）知，

PD=,AC=2.

又∵∠BAC=30°,

∴BC=.

∴V_P—ABC=·S_△ABC·PD=AC·BC·PD=.