题目内容
16．2015年世界游泳锦标赛7月24号在俄罗斯喀山举行，比赛期间，来自俄罗斯喀山国立大学的男女大学生共9名志愿者被随机地平均分配到跳水、游泳、水球这三个场地服务，且跳水场地至少有一名女大学生志愿者的概率是$\frac{16}{21}$．（1）求游泳场地至少有男、女大学生志愿者各一人的概率；
（2）设随机变量X为在水球场地的男大学生志愿者的人数，求X的分布列及期望．
分析 （1）记“至少一名女大学生志愿者被分到跳水场地”为事件A，则事件A的对立事件是“没有女大学生志愿者被分到跳水场地”，由此求出女大学生志愿者有职有3人，男大学生志愿者有6人，从而能求出游泳场地至少有男、女大学生志愿者各一人的概率．
（2）随机变量X为在水球场地的男大学生志愿者的人数，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及期望．
解答 解：（1）记“至少一名女大学生志愿者被分到跳水场地”为事件A，
则事件A的对立事件是“没有女大学生志愿者被分到跳水场地”，
设有女大学生为x人，则1≤x≤9，
∵跳水场地至少有一名女大学生志愿者的概率是$\frac{16}{21}$，
∴P（A）=1-$\frac{{C}_{9-x}^{3}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{16}{21}$，即（9-x）（8-x）（7-x）=120，解得x=3，
∴女大学生志愿者有职有3人，男大学生志愿者有6人，
记“游泳场地至少有男、女大学生志愿者各一人”为事件B，
则P（B）=$\frac{（{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}+{C}_{3}^{2}{C}_{6}^{1}）{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{4}$，
∴游泳场地至少有男、女大学生志愿者各一人的概率为$\frac{3}{4}$．
（2）随机变量X为在水球场地的男大学生志愿者的人数，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{18}{84}=\frac{3}{14}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{45}{84}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{20}{84}=\frac{5}{21}$
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{1}{84}$ | $\frac{3}{14}$ | $\frac{15}{28}$ | $\frac{5}{21}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
| A． | （-4，-7） | B． | （4，7） | C． | （4，-1） | D． | （4，1） |
| A． | 相交 | B． | 内切 | C． | 相离 | D． | 外切 |
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长等于2的正方形，其他四个侧面都是边长等于$\sqrt{5}$的等腰三角形，点E是PC中点．
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MD}$，若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BM}$=-3，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{2}$．