Question

5．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MD}$，若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BM}$=-3，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设∠DAB=θ，根据$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BM}$=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{CD}$）（$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AB}$）=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{CD}$）（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）=3，化简计算求出cosθ=$\frac{1}{8}$，再根据向量数量积公式计算即可．

解答 解：设∠DAB=θ，
∵AB∥CD，
∴∠D=180°-θ
∵$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MD}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BM}$=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{CD}$）（$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AB}$），
=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{CD}$）（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$），
=$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{AD}$|²-$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{AB}$，
=$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{AD}$|²-|$\overrightarrow{AD}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cosθ-$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{CD}$|•|$\overrightarrow{AD}$|cos（180°-θ）+|$\overrightarrow{CD}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos180°，
=$\frac{2}{3}$×3²-3×4cosθ+$\frac{2}{3}×$2×3cosθ-2×4
=-2-8cosθ=-3，
∴cosθ=$\frac{1}{8}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AD}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cosθ=3×4×$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 本题考查了向量的数量积运算和向量的加减的几何意义，属于中档题．