题目内容
已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：x＝2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值．
（1）
＋y2＝1.（2）ON＝
为定值
【解析】(1)∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：x＝2，
∴不妨设椭圆C的方程为
＋y2＝1.
∴
＝
＝2，即c＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)F(1,0)，右准线为l：x＝2，设N(x0，y0)，
则直线FN的斜率为kFN＝
，直线ON的斜率为kON＝
，
∵FN⊥OM，
∴直线OM的斜率为kOM＝－
，
∴直线OM的方程为：y＝－
x，点M的坐标为M 
.
∴直线MN的斜率为kMN＝
.
∵MN⊥ON，∴kMN·kON＝－1，
∴·＝－1，
∴
＋2(x0－1)＋x0(x0－2)＝0，
即
＋
＝2.∴ON＝为定值
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