Question

【题目】已知函数

（1）求函数 的单调区间；

（2）若在 上只有一个零点，求的取值范围；

（3）设 为函数的极小值点，证明：

Answer 1

【答案】（1）当时,单调递减区间为，无增区间； （2）； （3）见解析.

【解析】

（1）利用导数求解单调区间，注意参数的讨论；

（2）分离参数，结合目标函数的最值求解；

（3）利用导数求出极值点，结合目标函数单调性求解.

(1)函数定义域为R,

因为 ,

当时, 恒成立,在R上单调递减；

当时,令得

当时， ，当时，

综上：当时,单调递减区间为，无增区间；

当时,增区间为 ，减区间为 ,

（2）因为在上只有一个零点,所以方程上只有一个解.

设函数则,

当时,, 当时,,

所以在上单调递增, 在上单调递减

故 ,又,

所以的取值范围为.

（3）由（1）知当时，在时取得极小值,

的极小值为

设函数

当f(x)单调递减；当f(x)单调递增；

故即所以.