Question

3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点（异于A、B），AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点P，过点B的切线交直线DC于点T．
（Ⅰ）证明：BC=PC；
（Ⅱ）若∠BTC=120°，AB=4，求DP•DA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，BP，利用直径所对的圆周角为直角，圆的切线的性质，证明∠CBP=∠CPB，即可证明：BC=PC；
（Ⅱ）求出AC=2$\sqrt{3}$，DC=$\sqrt{3}$，利用切割线定理求DP•DA的值．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC，BP，
∵AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，∴∠ACB=90°，
即∠BCT+∠ACD=90°，
又∵AD⊥DC，∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠BCT=∠DAC，
又∵直线DT是圆O的切线，∴∠CPB=∠BCT，
又∠DAC=∠CBP，∴∠CBP=∠CPB，∴BC=PC．----------（5分）
（Ⅱ）解：由题意知点A，B，T，D四点共圆，∴∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∴AC=2$\sqrt{3}$，DC=$\sqrt{3}$
∴DP•DA=DC²=3--------------（10分）

点评 本题考查圆的切线的性质，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．