Question

20．在实数集R上定义一种运算“*”，对于任意给定的a、b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a、b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a、b∈R，a*0=a；
（3）对任意a、b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
关于函数f（x）=x*$\frac{1}{x}$的性质，有如下说法：
①在（0，+∞）上函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）．
其中所有正确说法的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据条件在③中令c=0得到a*b=ab+a+b从而得到f（x）的表达式，结合函数的奇偶性，单调性和最值的性质分别进行判断即可．

解答 解：①由新运算“*”的定义③令c=0，
则（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（0*b）=ab+a+b，
即a*b=ab+a+b
∴f（x）=x*$\frac{1}{x}$=1+x+$\frac{1}{x}$，当x＞0时，f（x）=x*$\frac{1}{x}$=1+x+$\frac{1}{x}$≥1+2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=1+2=3，
当且仅当x=$\frac{1}{x}$，即x=1时取等号，∴在（0，+∞）上函数f（x）的最小值为3；故①正确，
②函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f（1）=1+1+1=3，f（-1）=1-1-1=-1，
∴f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），则函数f（x）为非奇非偶函数，故②错误，
③函数的f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0
则x=±1，
∵当x∈（-∞，-1）或（1，+∞）时，f′（x）＞0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）、（1，+∞）．故③正确；
故正确的是①③，
故选：C

点评 本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质，根据条件令c=0求出函数的解析式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．