Question

如图，已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为

6

，P为棱SC的中点．
（1）求直线AP与平面SBC所成角的正弦值；
（2）求两面角B-SC-D大小的余弦值；
（3）在正方形ABCD内是否有一点Q，使得PQ⊥平面SDC？若存在，求PQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设正方形ABCD的中心为O，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AP与面SBC所成角的正弦值．
（2）分别求出平面SDC的法向量和平面SBC的法向量，利用向量法能求出二面角B-SC-D大小的余弦值．
（3）设Q（x，y，0），则

PQ

=(x+

1

2

，y-

1

2

，-

6

2

)，若PQ⊥平面SDC，则

PQ

∥

n2

，由

5

2

＞1，点Q不在正方形ABCD内，故不存在满足条件的点Q．

解答： 解：（1）设正方形ABCD的中心为O，如图建立空间直角坐标系，
则A（1，-1，0），B（1，1，0），C（-1，1，0），
D（-1，-1，0），S（0，0，

6

），
∵P是SC的中点，∴P（-

1

2

，

1

2

，

6

2

）．…（2分）

AP

=(-

3

2

，

3

2

，

6

2

)，设平面SBC的法向量

n1

=（x₁，y₁，z₁），
则

n1 • BC =0 n1 • SB =0

，即

-2x1=0 x1+y1- 6 z1=0

，取

n1

=（0，

6

，1），
∴cos＜

AP

，

n1

＞=

2 6

6 × 7

=

2 7

7

，…（4分）
故直线AP与平面SBC所成角的正弦值为

2 7

7

．…（6分）
（2）设平面SDC的法向量

n2

=（x₂，y₂，z₂），则

n2 • DC =0 n2 • SC =0

，即

2y2=0 -x2+y2- 6 z2=0

，取

n2

=（-

6

，0，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

7 • 7

=

1

7

，…（9分）
又二面角B-SC-D为钝角二面角，
故二面角B-SC-D大小的余弦值为-

1

7

．…（11分）
（3）设Q（x，y，0），则

PQ

=(x+

1

2

，y-

1

2

，-

6

2

)，…（12分）
若PQ⊥平面SDC，则

PQ

∥

n2

，
∴

y- 1 2 =0 x+ 1 2 = 6 × 6 2

，解得

y= 1 2 x= 5 2

，…（15分）
但

5

2

＞1，点Q不在正方形ABCD内，故不存在满足条件的点Q．…（16分）

点评：本题考查直线与平面所成的角的正弦值求法，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．