Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为d，且不等式ax²-3x+2＜0的解集为（1，d）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=3^a_n+a_n，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得1，d是一元二次方程ax²-3x+2=0的两根，由韦达定理得

1+d= 3 a 1•d= 2 a

，由此可解得a，d的值，进而可写出a_n的通项公式．
（II）由（I）知bn=32n-1+2n-1，写出T_n的表达式，根据T_n的结构特征采用分组求和法求T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵不等式ax²-3x+2＜0的解集为（1，d），
∴1，d是一元二次方程ax²-3x+2=0的两根，a≠0，
由韦达定理得

1+d= 3 a 1•d= 2 a

，解得a=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（II）∵b_n=3^a_n+a_n，a_n=2n-1，∴bn=32n-1+2n-1，
∴Tn=(3+1)+(33+3)+…+(32n-1+2n-1)
=（3+3³+…+3^2n-1）+（1+3+…+2n-1）
=

3(1-9n)

1-9

+

n(1+2n-1)

2

=

3

8

(9n-1)+n2．（12分）

点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查等差数列通项公式的求法，考查分组法求数列前n项和．是中档题．