Question

如图，在三棱锥P-ABC中，BC⊥平面PAB．已知PA=AB，D，E分别为PB，BC的中点．
（1）求证：AD⊥平面PBC；
（2）若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，求

AF

FC

的值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）等腰△PAB中，证出中线AD⊥PB．由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，再利用线面垂直判定定理，即可证出AD⊥平面PBC；
（2）连结DC，交PE于点G，连结FG、DE．利用线面平行的性质定理，证出AD∥FG．而DE为△BPC的中位线，证出△DEG∽△CPG，利用相似三角形的性质和平行线的性质，即可算出

AF

FC

的值．

解答： 解：（1）∵BC⊥平面PAB，AD?平面PAB，∴BC⊥AD．
∵PA=AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB
∵PB、BC是平面PBC内的相交直线，∴AD平面PBC；
（2）连结DC，交PE于点G，连结FG、DE
∵AD∥平面PEF，AD?平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，
∴AD∥FG．
∵D、E分别是PB、BC的中点，∴DE为△BPC的中位线，
因此，△DEG∽△CPG，可得

DG

GC

=

DE

PC

=

1

2

，
∴

AF

FC

=

DG

GC

=

1

2

，即

AF

FC

的值为

1

2

．

点评：本题在特殊的三棱锥中证明线面垂直，并求线段的比值．着重考查了线面垂直的定义与判定、线面平行性质定理和相似三角形的计算等知识，属于中档题．