Question

已知函数．
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）当时，方程有实根，求实数的最大值。

Answer 1

(1) (2) 当时，取得最大值0．

试题分析：（1）． 1分
因为为的极值点，所以． 2分
即，解得．     3分
又当时，，从而的极值点成立． 4分
（2）若时，方程可化为，．
问题转化为在上有解，
即求函数的值域．             7分
以下给出两种求函数值域的方法：
方法1：因为，令，
则   ，             9分
所以当，从而上为增函数，
当，从而上为减函数，            10分
因此．
而，故，
因此当时，取得最大值0．           12分
方法2：因为，所以．
设，则．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
因为，故必有，又，
因此必存在实数使得，
，所以上单调递减；
当，所以上单调递增；
当上单调递减；
又因为，
当，则，又．
因此当时，取得最大值0．  12分
点评：主要是考查了运用导数来判定函数单调性以及函数的 极值问题，通过利用函数的单调性放缩法来证明不等式，进而得到最值，属于中档题。