Question

6．投资生产某种产品，并用广告方式促销，已知生产这种产品的年固定投资为10万元，每生产1万件产品还需投入18万元，又知年销量W（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为W=$\frac{kx+1}{x+1}$（x≥0），且知投入广告费1万元时，可多销售2万件产品，预计此种产品年销售收入M（万元）等于年成本（万元）（年成本中不含广告费用）的150%与年广告费用50%的和．
（1）试将年利润y（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；
（2）当年广告费为多少万元时，年利润最大？最大年利润是多少万元？

Answer 1

分析 （1）由已知中年销量W（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为W=$\frac{kx+1}{x+1}$（x≥0），投入广告费1万元时，年销量为2万件产品，代入可以求出k值，进而得到W的表达式，进而求出结合年销售收入，结合年成本为10+18W+x，根据利润=收入-成本，即可得到年利润y（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；
（2）根据（1）中得到的函数解析式，换元，根据基本不等式，易得到年广告费为多少万元时，年利润最大及对应的最大年利润是多少万元．

解答 解：（1）∵W=$\frac{kx+1}{x+1}$（x≥0），且投入广告费1万元时，年销量为2万件产品，∴k=3，∴W=$\frac{3x+1}{x+1}$
年销售收入M=$\frac{3}{2}$（10+18W）+$\frac{1}{2}$x，年成本为10+18W+x，
∴y=$\frac{3}{2}$（10+18W）+$\frac{1}{2}$x-（10+18W+x）=5+9×$\frac{3x+1}{x+1}$-$\frac{1}{2}$x，
（2）设t=x+1（t≥1），则y=$\frac{65}{2}$-（$\frac{18}{t}$+$\frac{t}{2}$）≤$\frac{65}{2}$-2$\sqrt{\frac{18}{t}•\frac{t}{2}}$=$\frac{53}{2}$，
当且仅当$\frac{18}{t}$=$\frac{t}{2}$，即t=6，x=5时，等号成立，
所以当x=5时，y_max=$\frac{53}{2}$，
即当年广告费为5万元时，年利润最大，最大年利润是$\frac{53}{2}$万元．

点评 本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中根据已知条件分别计算年销售收入的表达式工，及年成本的表达式，进而根据利润=收入-成本，得到年利润的表达式是解答本题的关键．