题目内容
6．已知函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x-cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f（x）≥a-g（x）对?x∈R恒成立．（1）求实数a的最大值m；
（2）若正实数a，b，c满足a+2b+3c=2m，求a2+b2+c2的最小值．
分析 （1）由条件利用绝对值三角不等式求得实数a的最大值．
（2）由条件利用二维形式的柯西不等式，求得a2+b2+c2的最小值．
解答 解：（1）函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x-cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f（x）≥a-g（x）对?x∈R恒成立，
故 2|x+sin2θ|≥a-2|x-cos2θ|恒成立，即 2|x+sin2θ|+2|x-cos2θ|≥a 恒成立．
∵2|x+sin2θ|+2|x-cos2θ|≥|2x+2sin2θ-（2x-2cos2θ）|=2，∴2≥a，即a≤2，∴a的最大值为m=2．
（2）∵a+2b+3c=2m=4，∴16=（a+2b+3c）2≤（a2+b2+c2）•（12+22+32）=14•（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2 ≥$\frac{16}{14}$=$\frac{8}{7}$，即a2+b2+c2的最小值 为$\frac{8}{7}$．
点评 本题主要考查绝对值三角不等式、二维形式的柯西不等式的应用，属于中档题．
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