已知ABC中.A.第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动.O为坐标原点.动点T满足:$\overrightarrow{OT}$=$\frac{1}{3}$[$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$].则动点T的轨迹方程为$\frac{3y+2-2λ}{1+2λ}$=3($\frac{3x+2-2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

11．已知ABC中，A（-2，0）、B（0，-2），第三个顶点C在曲线y=3x²-1上移动，O为坐标原点，动点T满足：$\overrightarrow{OT}$=$\frac{1}{3}$[（1-λ）$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]（λ∈R），则动点T的轨迹方程为$\frac{3y+2-2λ}{1+2λ}$=3（$\frac{3x+2-2λ}{1+2λ}$）²-1．

分析设T（x，y），用x，y表示出C点坐标，代入曲线y=3x²-1上即可．

解答解：设C（x₀，y₀），则$\overrightarrow{OA}$=（-2，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，-2），$\overrightarrow{OC}$=（x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{OT}$=$\frac{1}{3}$[（1-λ）$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]=（$\frac{2λ-2}{3}$，0）+（0，$\frac{2λ-2}{3}$）+（$\frac{1+2λ}{3}{x}_{0}$，$\frac{1+2λ}{3}{y}_{0}$）=（$\frac{2λ-2+（1+2λ）{x}_{0}}{3}$，$\frac{2λ-2+（1+2λ）{y}_{0}}{3}$），
设T（x，y），则x=$\frac{2λ-2+（1+2λ）{x}_{0}}{3}$，y=$\frac{2λ-2+（1+2λ）{y}_{0}}{3}$．
∴x₀=$\frac{3x+2-2λ}{1+2λ}$，y₀=$\frac{3y+2-2λ}{1+2λ}$，
∵C（x₀，y₀）在曲线y=3x²-1上移动，
∴动点T的轨迹方程为：$\frac{3y+2-2λ}{1+2λ}$=3（$\frac{3x+2-2λ}{1+2λ}$）²-1，
故答案为：$\frac{3y+2-2λ}{1+2λ}$=3（$\frac{3x+2-2λ}{1+2λ}$）²-1．

点评本题考查了平面向量的坐标运算，轨迹方程的求解，属于中档题．

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