Question

20．如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABE⊥底面ABCD，侧面AEB为等腰直角三角形，∠AEB=$\frac{π}{2}$，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC
（1）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出$\frac{EF}{EA}$；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）可知∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，
设BC=a，则AB=2a，BE=$\sqrt{2}a$，得CE=$\sqrt{3}a$，则直角三角形CBE中，sin∠CEB=$\frac{CB}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）连接AC、BD交于点，推出EC∥FM．通过△DMC与△BMA相似，然后求解EF即可．

解答 解：（1）因为平面ABE⊥底面ABCD，且AB⊥BC，
所以BC⊥平面ABE，则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，
设BC=a，则AB=2a，BE=$\sqrt{2}a$，所以CE=$\sqrt{3}a$，
则直角三角形CBE中，sin∠CEB=$\frac{CB}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）存在点F，且$\frac{EF}{EA}=\frac{1}{3}$时，有EC∥平面FBD，
证明如下：解：连接AC、BD交于点M，面ACE∩面FBD=FM．
因为EC∥平面FBD，所以EC∥FM．
在梯形ABCD中，有△DMC∽△BMA，可得MA=2MC，∴AF=2FE，
即点F满足$\frac{EF}{EA}=\frac{1}{3}$时，有EC∥平面FBD．

点评 本题考查了直线与平面平行的判定定理的应用、线面角的求解，考查空间想象能力以及逻辑推理能力、转化思想的应用．