Question

18．在锐角△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，asinA+bsinB=csinC+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$asinB．
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）设b=$\sqrt{5}$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简可得：a²+b²=c²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ab，利用余弦定理可求cosC的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinC，cosA，利用两角和的正弦函数公式可求sinB，结合B为锐角，由特殊角的三角函数值即可得解B的值．
（Ⅱ）由（1）及正弦定理可得a的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵在锐角△ABC中，asinA+bsinB=csinC+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinB．
∴由正弦定理可得：a²+b²=c²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，A为锐角，可得：cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
而B为锐角，∴B=$\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）∵由（1）B=$\frac{π}{4}$，b=$\sqrt{5}$，sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×3×$$\sqrt{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=3．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．