题目内容

已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|+|BF |=8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求此抛物线的方程．

答案：
解析：

设抛物线的方程为

　　y2=2px(p＞0)，

　　其准线为．

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　∵　|AF|+|BF|=8，∴　

　　即x1+x2=8-p．

　　∵　Q(6，0)在线段AB的中垂线上，∴　QA=QB

　　即(x1-6)2+ =(x2-6)2+，

　　又=2px1，=2px2，

　　∴　(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0．

　　∵　AB与x轴不垂直，∴　x1≠x2

　　故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0，

　　即p=4，抛物线方程为y2=8x．


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