Question

设f（x）是定义在区间（a，b）上的函数，若对?x₁，x₂∈（a，b），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，则称y=f（x）是区间（a，b）上的“温和函数”，下列函数不是其定义域上的“温和函数”的是（　　）

• A、f（x）=x²-x，x∈（-1，1）
• B、f（x）=sinx，x∈R
• C、f（x）=e^x，x∈（-∞，0）
• D、f（x）=lnx，x∈（1，+∞）

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：利用新定义，判断表达式的几何意义，通过函数的导数求出函数的斜率的范围，推出结果即可．

解答： 解：设f（x）是定义在区间（a，b）上的函数，若对?x₁，x₂∈（a，b），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，可得|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|≤1，即函数图象上任意两点的连线的斜率的绝对值小于等于1．则称y=f（x）是区间（a，b）上的“温和函数”，
因为f（x）=x²-x，x∈（-1，1），f′（x）=2x-1，x∈（-1，1）时，f′（x）∈（-3，1），不满足|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，因此f（x）=x²-x，x∈（-1，1），不是x∈（-1，1），上的“温和函数”；
f（x）=sinx，x∈R，可得f′（x）=cosx∈[-1，1]．满足新定义．
f（x）=e^x，x∈（-∞，0），f′（x）=e^x∈（0，1），满足新定义．
f（x）=lnx，x∈（1，+∞），f′（x）=

1

x

∈（0，1）．满足新定义．
故选：A．

点评：本题考查函数与方程的综合应用，考查新定义的理解，学生分析解决问题的能力，属于中档题．