Question

已知函数f（x）=

2x2-3x+1，x≤1 -x2+x，x＞1

，关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是（　　）

• A、（

  3

  4

  ，

  8- 6

  4

  ）
• B、（

  5

  2

  ，

  8+ 6

  4

  ）
• C、（1，

  2+ 6

  4

  ）
• D、（

  5

  2

  ，

  11+ 6

  4

  ）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：求出f（x）在x≤1时的最小值-

1

8

，结合图象讨论直线和曲线有三个交点的情况，考虑和x轴重合，以及经过在x≤1时的f（x）图象的最低点，从而得到所求的范围．

解答： 解：画出函数f（x）的图象和直线y=m，
∵2x²-3x+1=2（x-

3

4

）²-

1

8

，
∴x≤1时，x=

3

4

，f（x）取最小值-

1

8

．
令-x²+x=-

1

8

，则x=

1

2

+

6

4

（

1

2

-

6

4

舍去）
则x₁+x₂+x₃＜

3

4

+

3

4

+

1

2

+

6

4

=2+

6

4

，
令2x²-3x+1=0，则x=1或

1

2

，
则x₁+x₂+x₃＞1+1+

1

2

=

5

2

，
故x₁+x₂+x₃的取值范围是（

5

2

，

8+ 6

4

）．
故选B．

点评：本题考查分段函数的图象及应用，考查函数的最值及应用，考查数形结合的能力，属于中档题．