Question

设抛物线y²=2px(p＞0)上有两动点A、B（直线AB不垂直于x轴），F为焦点且|AF|+|BF|=8，又线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6，0）.求：

（1）抛物线的方程；

（2）△AQB的面积的最大值.

Answer 1

解：（1）设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)，AB的中点为M（x₀,y₀），则|AF|=x₁+,|BF|=x₂+.

所以|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=8,

即p+2x₀=8.①

由y₁²=2px₁,y₂²=2px₂得y₁²-y₂²=2p(x₁-x₂),所以.

因为MQ垂直平分AB，所以k_MQ=，又k_MQ=,所以,

所以p=6-x₀.②

由①②得x₀=2,p=4.

故抛物线的方程为y²=8x.

（2）由（1）知，k_AB=,M(2,y₀)，所以AB的方程为y-y₀=(x-2)，代入y²=8x得y²-2y₀y+2y₀²-16=0,

由Δ＞0得-4＜y₀＜4,且y₁+y₂=2y₀,y₁y₂=2y₀²-16.

所以|AB|=.

所以S_△AQB=|AB|·|MQ|

=

=

≤.

当且仅当16+y₀²=32-2y₀²，即y₀=±时取等号.

故△AQB的面积的最大值为.

点拨：运用不等式求最值作为一种思想渗透在各种题型中，经常与其他的知识结合起来考查.因此，一定要掌握不等式的基本性质，并能对其加以灵活运用.