Question

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y²=2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（　　）

• A、

  p2

  2

• B、p²
• C、2p²
• D、4p²

Answer 1

分析：法一：直接计算比较复杂，我们可以取几个特殊的位置，可得解．
法二：由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△PAB为直角三角型，且角P为直角．又面积是直角边积的一半，斜边是两直角边的平方和，故可求．

解答：解：法一：取倾斜角为：45⁰，60⁰，90⁰，经计算可知，当倾斜角为90⁰时，△ABQ的面积的最小，此时AB=2p，又焦点到准线的距离d=

p

2

-(-

p

2

)=p，此时三角形的面积最小为p²故选B．
法二：由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△PAB为直角三角型，且角P为直角．S=

1

2

PA•PB≤

AB2

4

，由于AB是通径时，AB最小，故选B．

点评：本题作为选择题，采用特殊法，简单易行．由特殊求解一般性结论是解答选择题的一种很好的方法．△PAB称作阿基米德三角型．该三角形满足以下特性：1、P点必在抛物线的准线上；2、△PAB为直角三角型，且角P为直角；3、PF⊥AB（即符合射影定理）等．灵活利用性质是解题的关键．