Question

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y²=2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ为（　　）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．随Q位置变化前三种情况都有可能

Answer 1

分析：如图所示．设Q(-

p

2

，t)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则

y

2 1

=2px1，

y

2 2

=2px2．
设直线AB：my=x-

p

2

，与抛物线联立可得根与系数的关系y1y2=-p2．设过点A的切线为k1(y-y1)=x-

y 2 1

2p

，与抛物线方程联立，可得△=0．设过点B的切线为k2(y-y2)=x-

y 2 2

2p

，与抛物线方程联立，可得△′=0．进而即可判断出结论．

解答：解：如图所示．
设Q(-

p

2

，t)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则

y

2 1

=2px1，

y

2 2

=2px2．
设直线AB：my=x-

p

2

，联立

my=x- p 2 y2=2px

，
化为y²-2pmy-p²=0，
得到y₁+y₂=2pm，y1y2=-p2．
设过点A的切线为k1(y-y1)=x-

y 2 1

2p

，联立

k1(y-y1)=x- y 2 1 2p y2=2px

，
化为y2-2pk1y+2pk1y1-

y

2 1

=0，
∵直线是抛物线的切线，∴△=(-2pk1)2-4(2pk1-

y

2 1

)=0，化为pk₁=y₁．
设过点B的切线为k2(y-y2)=x-

y 2 2

2p

，同理可得pk₂=y₂．
∴p²k₁k₂=y₁y₂．
∴p2k1k2=-p2，
解得k₁k₂=-1．∴

1

k1k2

=-1．
即△ABQ是直角三角形．
故选B．

点评：本题考查了阿基米德三角形的性质、直线与抛物线相切、焦点弦问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．