Question

14．已知函数f（x）=ax-2lnx．
（Ⅰ）当a=1时，函数y=x•f（x）有几个极值点？
（Ⅱ）若f（x）≤0对于x∈（$\frac{1}{e}$，e）的解集非空，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，设F（x）=x•f（x）=x²-2xlnx，利用导数法分析函数的单调性，进而可得答案；
（Ⅱ）若f（x）≤0对于x∈（$\frac{1}{e}$，e）的解集非空，则存在$x∈（\frac{1}{e}，e）$使$a≤\frac{2lnx}{x}$成立．进而得到实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-2lnx，
设F（x）=x•f（x）=x²-2xlnx，
则F'（x）=2x-2lnx-2=2[（x-1）-lnx]（x＞0）．
令h（x）=x-1-lnx，则$h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
所以当0＜x＜1时，h'（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减；
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上单调递增；
所以当x=1时h（x）_min=h（1）=0，
所以当x＞0时F'（x）≥0恒成立，
所以函数y=x•f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点．
（Ⅱ）因为f（x）≤0，即ax-2lnx≤0．
问题等价于存在$x∈（\frac{1}{e}，e）$使$a≤\frac{2lnx}{x}$成立．
令$g（x）=\frac{2lnx}{x}$，则$g'（x）=\frac{2（1-lnx）}{x^2}$．
因为$x∈（\frac{1}{e}，e）$，所以-1＜lnx＜1，
所以g'（x）＞0在$（\frac{1}{e}，e）$上恒成立，
所以g（x）在$（\frac{1}{e}，e）$上单调递增，
所以$g（\frac{1}{e}）＜g（x）＜g（e）$，
即$-2e＜g（x）＜\frac{2}{e}$，
所以$a＜\frac{2}{e}$．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，恒成立问题，转化思想，难度中档．