题目内容
16．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，平面PAD⊥底面ABCD，BC=$\frac{1}{2}$AD，PA=AD=AB=2，Q为AD的中点（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若直线PA与平面ABCD所成的角为60°，M是棱PC上的点．
①经过M，B作平面α，使直线CD∥α并说明理由；
②若PM=tMC，二面角M-BQ-C的平面角的大小为30°，求AM的长．
分析 （1）推导出四边形BCDQ为平行四边形，从而CD∥BQ．求出QB⊥AD，从而BQ⊥平面PAD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）①由CD∥BQ，得CD∥平面MBQ，从而平面MBQ即为平面α．
②推导出PQ⊥AD，PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AM．
解答 （本小题满分13分）
证明：（1）∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …（4分）
（2）①如图，Q是AD的中点，在棱PC上的任意取一点M，
因为CD∥BQ，且CD?平面MCD，
故CD∥平面MBQ，故平面MBQ即为平面α．…（7分）
②∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
∵直线PA与平面ABCD所成的角为60°，
∴∠PAQ=60°，∵PA=2，故AQ=QD=BC=1，
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系，
则平面BQC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），Q（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0）．
设M（x，y，z），则$\overrightarrow{PM}$=（x，y，z-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{MC}$=（-1-x，$\sqrt{3}-y$，-z），
∵$\overrightarrow{PM}=t\overrightarrow{MC}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=t（-1-x）}\\{y=t（\sqrt{3}-y）}\\{z-\sqrt{3}=t（-z）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{t}{1+t}}\\{y=\frac{\sqrt{3}t}{1+t}}\\{z=\frac{\sqrt{3}}{1+t}}\end{array}\right.$，…（10分）
在平面MBQ中，$\overrightarrow{QB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{QM}$=（-$\frac{t}{1+t}$，$\frac{\sqrt{3}t}{1+t}$，$\frac{\sqrt{3}}{1+t}$），
∴平面MBQ法向量为$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，0，t$）．
∵二面角M-BQ-C为30°，cos30°=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{t}{\sqrt{3+0+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得t=3．
∴A（1，0，0），M（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
AM=$\sqrt{（1+\frac{3}{4}）^{2}+（0-\frac{3\sqrt{3}}{4}）^{2}+（0-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{79}}{4}$．…（13分）
点评 本题考查面面垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
一诺书业暑假作业快乐假期云南美术出版社系列答案| A． | 角B是锐角 | B． | 角B不是锐角 | C． | 角B是直角 | D． | 角B是钝角 |
如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，BC=4，EF=2，四边形EFCB是高为$\sqrt{3}$的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点．| A． | 因为y=2x是指数函数，所以函数y=2x经过定点（0，1） | |
| B． | 猜想数列$\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{2×3}$，$\frac{1}{3×4}$，…的通项公式为an=$\frac{1}{n（n+1）}$（n∈N*） | |
| C． | 由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行” | |
| D． | 由平面直角坐标系中圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，推测空间直角坐标系中球的方程为（x-a）2+（y-b）2+（z-c）2=r2 |
如图，已知△ABC，CD为∠ACB的角平分线，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角为θ，则（ ）| A． | ∠A′DB≤θ，∠A′CB≤θ | B． | ∠A′DB≤θ，∠A′CB≥θ | C． | ∠A′DB≥θ，∠A′CB≤θ | D． | ∠A′DB≥θ，∠A′CB≥θ |
如图，高为3的直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是直角三角形，AC=2，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{D{B}_{1}}$=0，且A1F=1．
| $\overrightarrow x$ | $\overrightarrow y$ | $\overrightarrow w$ | $\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$ | $\sum_{i=1}^n{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$ | $\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$ | $\sum_{i=1}^n{（{w_i}-\overline w）（{y_i}-\overline y）}$ |
| 46.6 | 56.3 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d$\sqrt{x}$哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（1）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（2）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehatβ$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\overline{v）}}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}$，$\widehatα$=$\overline v$-$\widehatβ\overline u$．