Question

3．已知函数f（x）=2^x+b经过定点（2，8）
（1）求实数b的值；
（2）求不等式f（x）＞$\root{3}{32}$的解集．

Answer 1

分析 （1）把已知点的坐标代入函数解析式，求解指数方程可得b的值；
（2）由指数函数的单调性化指数不等式为一次不等式求解．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2^x+b经过定点（2，8），
∴2^2+b=8，即2+b=3，b=1；
（2）由（1）得，f（x）=2^x+1，
由f（x）＞$\root{3}{32}$，得${2}^{x+1}＞{2}^{\frac{5}{3}}$，
∴x+1$＞\frac{5}{3}$，即x$＞\frac{2}{3}$．
∴不等式f（x）＞$\root{3}{32}$的解集为（$\frac{2}{3}，+∞$）．

点评 本题考查指数函数的图象和性质，考查了指数不等式的解法，是基础题．