Question

已知正项数列{a_n}的前项和为S_n，且满足S_n+a_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=

1

an

，数列{b_n}，满足b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2，求出数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列项和前n项和之间的关系，即可求出数列{a_n}的通项公式．
（2）求出c_n的表达式，构造方程组，利用作差法即可得到结论．

解答： 解：（1）由S_n+a_n=1，
得S_n-1+a_n-1=1，
两式相减得S_n-S_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），
又由S_n-S_n-1=a_n，
得a_n=

1

2

a_n-1，（n≥2），
∵S₁+a₁=2a₁=1，∴a₁=

1

2

，
即数列{a_n}是公比q=

1

2

的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=

1

2

•(

1

2

)n-1=（

1

2

）ⁿ．
（2）c_n=

1

an

=2ⁿ，
∵b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴b₁c₁+b₂c₂+…+b_n-1c_n-1=（2n-3）2ⁿ+2，（n≥2），
两式相减得b_nc_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹-（2n-3）2ⁿ，
即2ⁿ•b_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹-（2n-3）2ⁿ，
∴b_n=2（2n-1）-（2n-3）=2n+1，
当n=1时，b₁c₁=2b₁=2²+2=6，
∴b₁=3，满足b_n=2n+1，
则数列{b_n}的通项公式为b_n=2n+1．

点评：本题主要考查递推数列的应用，根据数列的递推关系，利用作差法是解决本题的关键．