Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：AD₁⊥平面CDA₁B₁；
（2）求直线BD与平面CDA₁B₁所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由正方形性质得AD₁⊥A₁D，由线面垂直得AD₁⊥A₁B₁，由此能证明AD₁⊥平面CDA₁B₁．
（2）过点B作BE⊥B₁C，交B₁C于点E，连接DE，∠BDE即为BD与面CDA₁B₁所成的角，由此能求出直线BD与平面CDA₁B₁所成的角．

解答： 解：（1）在正方体中，AD₁⊥A₁D，（1分）
又A₁B₁⊥面ADD₁A₁，且AD₁?面ADD₁A₁，
∴AD₁⊥A₁B₁，（4分）
∵A₁D，A₁B₁在平面CDA₁B₁内，且相交，
∴AD₁⊥平面CDA₁B₁．（6分）
（2）过点B作BE⊥B₁C，交B₁C于点E，连接DE，（7分）
∵DE∥AD，AD₁⊥平面CDA₁B₁，
∴DE⊥平面CDA₁B₁，
∴∠BDE即为BD与面CDA₁B₁所成的角，（9分）
在Rt△DEB中，BE=

2

2

，BD=

2

，
∴sin∠EBD=

BE

BD

=

1

2

，（11分），
∴直线BD与平面CDA₁B₁所成的角为30°．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查线面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．