Question

已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P（2，

3

），且它的离心率e=

1

2

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）与圆（x-1）²+y²=1相切的直线l：y=kx+t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足

OM

+

ON

=λ

OC

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得：

4 a2 + 3 b2 =1 c a = 1 2 c2=a2-b2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ） 因为直线l：y=kx+t与圆（x-1）²+y²=1相切，所以2k=

1-t2

t

，把y=kx+t代入

x2

8

+

y2

6

=1，得：（3+4k²）x²+8ktx+4t²-24=0，由此能求出实数λ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ） 设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由已知得：

4 a2 + 3 b2 =1 c a = 1 2 c2=a2-b2

，解得

a2=8 b2=6

，
所以椭圆的标准方程为：

x2

8

+

y2

6

=1．
（Ⅱ） 因为直线l：y=kx+t与圆（x-1）²+y²=1相切，
所以

|t+k|

1+k2

=1，2k=

1-t2

t

，t≠0，
把y=kx+t代入

x2

8

+

y2

6

=1，并整理得：（3+4k²）x²+8ktx+4t²-24=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有x1+x2=-

8kt

3+4k2

，
y₁+y₂=kx₁+t+kx₂+t
=k（x₁+x₂）+2t=

6t

3+4k2

，
因为λ

OC

=（x₁+x₂，y₁+y₂），
所以C（

-8kt

(3+4k2)λ

，

6t

(3+4k2)λ

），
又因为点C在椭圆上，所以

8k2t2

(3+4k2)2λ2

+

6t2

(3+4k2)2λ2

=1，
λ2=

2t2

3+4k2

=

2

( 1 t2 )2+( 1 t2 )+1

，
因为t²＞0，所以(

1

t2

)2+(

1

t2

)+1＞1，
所以0＜λ²＜2，所以λ的取值范围为（-

2

，0）∪（0，

2

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．