Question

已知f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=ax+5-2a（a＞0），f（x）的值域为A，g（x）的值域为B．若?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，f（x₁）=g（x₂），则a的范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意化简f（x）=

2x2

x+1

=

2(x+1)2-4(x+1)+2

x+1

=2（x+1）+

2

x+1

-4，从而求得0≤f（x）≤1，则原题可化为?x₂∈[0，1]，使0≤g（x₂）≤1，从而求a的范围．

解答： 解：由题意，
f（x）=

2x2

x+1

=

2(x+1)2-4(x+1)+2

x+1

=2（x+1）+

2

x+1

-4，
∵x+1∈[1，2]，
∴4≤2（x+1）+

2

x+1

≤5，
则0≤f（x）≤1，
则原题可化为?x₂∈[0，1]，使0≤g（x₂）≤1，
又∵g（x）=ax+5-2a（a＞0）在[0，1]上是增函数，
∴0≤g（0）=5-2a≤1或0≤g（1）=5-a≤1，
解得，2≤a≤

5

2

或4≤a≤5．
故答案为：2≤a≤

5

2

或4≤a≤5．

点评：本题考查了函数的化简与函数的值域的求法，同时考查了存在性问题的处理方法，属于基础题．