Question

6．已知0＜α＜β，不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β），求不等式（a+c-b）x²+（b-2a）x+a＞0的解集．

Answer 1

分析 由于不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β），可得：α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．利用根与系数的关系可把不等式cx²-bx+a＞0化为（1+α）（1+β）x²-（α+β+2）x+1＜0，即[（1+α）x-1][（1+β）x-1]＜0，根据0＜α＜β，可得不等式的解集．

解答 解：∵不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β），
∴α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．
∴α+β=-$\frac{b}{a}$，αβ=$\frac{c}{a}$，
∴b=-a（α+β），c=aαβ
∵（a+c-b）x²+（b-2a）x+a＞0，
∴[a+aαβ+a（α+β）]x²+[-a（α+β）-2a]x+a＞0，
∴[1+αβ+（α+β）]x²-[（α+β）+2]x+1＜0，
∴[（1+α）x-1][（1+β）x-1]＜0，
∵0＜α＜β，
∴$\frac{1}{1+α}$＞$\frac{1}{1+β}$，
∴（x-$\frac{1}{1+α}$）（x-$\frac{1}{1+β}$）＜0，
解得$\frac{1}{1+β}$＜x＜$\frac{1}{1+α}$，
故不等式的解集为（$\frac{1}{1+β}$，$\frac{1}{1+α}$）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．