Question

已知椭圆，其中为左、右焦点，O为坐标原点．直线l与椭圆交于两个不同点．当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为．又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为．

（I）求椭圆C的方程；

（II）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为时，求平行四边形OQNP的对角线之积的最大值；

（III）若抛物线为焦点，在抛物线C2上任取一点S（S不是原点O），以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，求该圆面积最小时点S的坐标．

Answer 1

解析：（Ⅰ）直线的倾斜角为，，直线的方程，

，，为椭圆上任一点，

==≥，,

当时，，，,

椭圆的方程 ．．………………………5分

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，

由在椭圆上，则，而，则,

知=．

当直线的斜率存在时，设直线为，代入可得

，

即，

，即,

,

,

，,

化为，，

,

得到，,则，满足,

由前知，，

设M是ON与PQ的交点，则

,

,

，当且仅当，

即时等号成立，

综上可知的最大值为．

=2的最大值为5．………………………10分

（Ⅲ）因为以为直径的圆与相交于点，所以∠ORS = 90°，即 ,

设S （，），R（，），＝（-，-），=（，）,

所以,

因为，，化简得 ,

所以，

当且仅当即＝16，y2＝±4时等号成立．

圆的直径|OS|=,

因为≥64，所以当＝64即=±8时，，

所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）．．